Temario
La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las Ecuaciones Diferenciales y en Diferencia constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.
Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico, lo cual posible que se estudien ecuaciones diferenciales en diferencias con la teoría de problemas de valor inicial.
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales y en diferencias para los Ingenieros, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales que requieren de técnicas de gran desarrollo en la actualidad como la modelación y la simulación.
Por tales razones el programa de Ecuaciones Diferenciales y en diferencias desarrolla los siguientes ejes temáticos:
*Una breve Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, en esta parte, se clasifican las ecuaciones diferenciales y se llegan a las ecuaciones diferenciales de primer orden y a los problemas de valor inicial, en esta parte se estudian los métodos clásicos de solución tales como variables separables, ecuaciones lineales, homogéneas, exactas, cuasi-exactas y por sustituciones. Se estudian las ecuaciones de Bernoulli, Riccati, Clairaut y se estudian algunos problemas de modelado como crecimiento y decrecimiento exponencial de poblaciones, ley de enfriamiento, mezclas y circuitos en serie, modelos demográficos y logísticos, reacciones química, y modelos que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
*Se estudian las ecuaciones diferenciales de orden superior y los diferentes métodos de solución ya sea por superposición, reducción de orden, coeficientes indeterminados, anulador y variación de parámetros y las ecuaciones de Cauchy-Euler. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación, y, los problemas de modelado como los sistemas masa-resorte libre amortiguados y libre forzados y los circuitos en series LRC.
*Se estudia la Transformada de Laplace y sus múltiples aplicaciones en la solución de problemas de valor inicial, se estudian con detenimiento la convolución de funciones y las transformadas de funciones periódicas.
*Por último se hace una introducción a las ecuaciones diferenciales en diferencias de primer orden con coeficientes constantes y problemas de modelado, a las ecuaciones en diferencias de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes y problemas de modelado.
Metodología
El desarrollo del curso de Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias esta guiado por las actuaciones pedagógicas que se presentan en el syllabus, que a su vez se convierte en un elemento que define las responsabilidades tanto del profesor y del estudiante en la consecución de las intenciones educativas y el desarrollo de las competencias.
En los syllabus se presentan acciones centradas en los estudiantes que deben ser realizadas cada semana y en ella se muestran: el tiempo de trabajo académico en el aula de clase y el trabajo independiente, la temática, las competencias, los productos de aprendizaje, el proceso de evaluación y los recursos necesario para afrontar las actividades propuestas.
En este sentido el docente juega no sólo un papel de guía para el desarrollo del proceso de aprendizaje, sino también el creador de escenarios de aprendizaje adecuados y de estrategias didácticas que permitan el desarrollo de un aprendizaje significativo.
Algunas estrategias didácticas que se utilizarán en el desarrollo del curso son: mapas conceptuales, herramientas de internet, simulaciones, laboratorios virtuales y reales, elaboración de escritos, y trabajo de curso que se desarrollará a lo largo del semestre y que pretende impulsar la iniciativa propia de los estudiantes respecto a la labor de estudio e investigación de algunos tópicos científicos o técnicos.
El aprendizaje y estudio independiente permitirá a los estudiantes establecer sus propias condiciones de aprendizaje, y autorregularse mediante la reflexión autocrítica (metacognición) que les posibilite el desarrollo de habilidades para aprender a aprender.
